Geotecnica I - Tensioni e deformazioni nelle terre
 
GEOTECNICA I - Tensioni e deformazioni nelle terre

 

Tensioni e deformazioni nelle terre

 

Si accetta che l’applicazione di una sollecitazione ad ogni materiale dia luogo ad una deformazione e ad una distorsione. Qualora non si abbia alcuna deformazione o distorsione si dice che il materiale è rigido. Se sotto l’applicazione di una sollecitazione si hanno deformazioni o distorsioni del materiale anche variabili nel tempo, ma che raggiungono un valore finito, mentre è mantenuto lo stato di tensione, allora si dice che il materiale è solido. Se sotto l’applicazione di una sollecitazione si ha un continuo aumento delle deformazioni e distorsioni si dice che il materiale è fluido.

In fisica si distinguono tre stati di aggregazione della materia: il solido, il liquido ed il gassoso. I corpi nello stato solido mantengono usualmente la loro forma ed il proprio peso mentre i fluidi sono caratterizzati da una grande mobilità delle loro particelle elementari.

Si deve ancora ricordare che un materiale, le cui proprietà in un punto si manifestano ugualmente in tutte le direzioni, è detto isotropo; se queste proprietà sono costanti in tutti i punti della massa il materiale è detto omogeneo.

Se ora consideriamo un solido elastico il suo modello è caratterizzato da una legge costitutiva indipendente dal tempo, nella quale vi è una relazione biunivoca tra le sollecitazioni f e le deformazioni s: F=f (s); il comportamento del solido elastico è tale che le deformazioni prodotte da sollecitazioni scompaiono una volta rimosse queste ultime.

Nel caso di comportamento elastico lineare vale la legge di Hooke : F=Ks.

Il modello di mezzo plastico è caratterizzato dall’esistenza di soglie di sollecitazione oltre le quali si manifestano deformazioni permanenti..

Nelle terre si ha la presenza di una quantità di diversi comportamenti in relazione alle sollecitazioni in gioco e alle deformazioni corrispondenti. Vi è innanzitutto una notevole differenza di comportamento tra terre granulari e terre coesive; inoltre le terre hanno in generale un comportamento non lineare e spesso anelastico e quindi le deformazioni dipendono dalla sequenza delle sollecitazioni.

Per lo studio di questi comportamenti è necessario ricorrere a diversi tipi di apparecchiature di laboratorio che sottopongono il provino a diverse condizioni al contorno, sia come tensioni totali e neutrali che come spostamenti.

Nelle terre abbastanza spesso le situazioni più frequenti e onerose si hanno con materiale saturo; nelle prove è perciò necessario considerare l’interazione tra la fase liquida e la fase solida ed in particolare definire cosa si intende per condizioni drenate e condizioni non drenate.

Quando si è in condizioni drenate, in ogni elemento di terra e in ogni istante la variazione delle tensioni effettive è uguale a quella delle tensioni totali e quindi è sufficiente misurare queste ultime. E’ evidente che per avere le condizioni drenate il provino deve essere collegato idraulicamente con l’esterno; inoltre per le terre a bassa permeabilità le sollecitazioni esterne devono variare lentamente in modo da non provocare variazioni delle pressioni neutrali e quindi permettere alla fase solida di deformarsi come se non ci fosse l’acqua.

Per i terreni granulari che hanno quasi sempre una permeabilità alta le condizioni drenate si ottengono anche con velocità di carico relativamente elevate, ovviamente sempre che il provino sia collegato idraulicamente con l’esterno.

Le condizioni non drenate si ottengono quando non vi è collegamento idraulico con l’esterno e quando le sollecitazioni agiscono in tempi brevi rispetto a quelli necessari per avere il movimento ed eventualmente l’espulsione dell’acqua.

Nelle condizioni non drenate con mezzo saturo, poiché si considerano incompressibili la parte solida e l’acqua, non si hanno variazioni di volume.

In condizioni non drenate per determinare le tensioni efficaci si devono misurare le tensioni neutrali e applicare il principio delle tensioni effettive.

Consideriamo ora un elemento cubico con il sistema delle tensioni totali sulle varie facce . in genere sotto il piano campagna vi è simmetria rispetto all’asse verticale in modo che si può porre: σxy e τxvyzzx=0.

Una prima grossa difficoltà è collegata al fatto che si hanno spesso grandi deformazioni del provino; con terreni densi e compatti si arriva a rottura con deformazioni del 5% della dimensione iniziale del provino, ma con terreni argillosi molli si arriva con facilità a deformazioni del 20 – 40%. Con queste grandi deformazioni possono sorgere interferenze con le piastre di carico. Attraverso la piastra generalmente piana si trasferiscono al campione forze normali Fa e forze tangenziali Fab e Fac. Si fa l’ipotesi che le tensioni di contatto siano uniformi sulla faccia della piastra e che le tensioni siano date semplicemente da σa= Fa / Aa  τab= Fab / Aa  τac= Fac / Aa

Questo è valido ovviamente per piastre ruvide; per piastre lisce τab = τac = 0 e quindi in questo caso avremo piani principali paralleli ai piani della piastra e tensioni perpendicolari ai piani della piastra, cioè tensioni principali. Una prima classe dia attrezzature è caratterizzata dalla coincidenza dei piani principali delle tensioni e delle deformazioni e il campione è contenuto da piastre rigide, lisce e non ruotanti, o da membrane flessibili.

Lo stato pensionale esistente in un punto del terreno dipende dal peso proprio del terreno, dalla sua storia tensionale. Consideriamo ora la situazione delle tensioni dovute al peso proprio.

Un caso semplice e frequente è quello di terreno delimitato da una superficie orizzontale e con caratteristiche uniformi in direzione orizzontale. In questa situazione i piani verticali e orizzontali sono piani principali e quindi non si hanno tensioni tangenziali. La tensione verticale totale alla profondità z è data, nel caso di terreno omogeneo con peso di volume γ, dalla relazione molto semplice:

σu0= γ z

la tensione verticale litostatica efficace σ’u0 conoscendo le condizioni di falda e quindi il valore della pressione dell’acqua u0 è data da:

σ’u0 = σu0 - u0

La determinazione dei valori della tensione orizzontale σ’h0 costituisce un problema complicato, poiché il suo valore dipende dalla storia tensionale del deposito, cioè dal susseguirsi delle tensioni come entità e durata fino allo stato attuale.

In genere la tensione orizzontale effettiva viene espressa in funzione di quella verticale come:

σ’h = Kσ’u

Il valore di K dipende principalmente dalle deformazioni orizzontali avvenute e dal grado di sovraconsolidazione.

Il rapporto esistente tra la tensione orizzontale efficace σ’h0 e quella verticale efficace σ’u0 in una situazione di condizioni litostatiche è data da:

σ’h0 = K0 σ’u0

con K0 denominato coefficiente di spinta a riposo e avente valore compreso tra 0,4 e 0,6.

Un argilla di recente deposizione, che sotto l’effetto del proprio peso ha raggiunto una situazione di equilibrio è indicata come normalconsolidata. Durante la consolidazione, il terreno sotto il peso degli strati sovrastanti e assoggettato ad una compressione assiale senza deformazioni laterali, date le condizioni di simmetria che devono essere soddisfatte considerando che il fenomeno Avviene su un’area grande.

I depositi che durante la loro storia sono stati assoggettati a tensioni σ’p  superiori alla tensione attuale σ’u0 sono definiti sovraconsolidati e l’entità del fenomeno di sovraconsolidazione è usualmente individuata dal parametro: OCR. La tensione σ’u0  si calcola come già stato detto, mentre la pressione di consolidazione σ’p  è determinata sperimentalmente per mezzo di prove di laboratorio.

Le caratteristiche di compressibilità delle terre sono spesso determinate mediante le prove di compressione edometrica. Le condizioni al contorno per queste prove, sono caratterizzate da uno stato di simmetria radiale e dall’assenza di componenti radiali della deformazione che è quindi monodimensionale. Le prove edometriche sono molto utilizzate per la semplicità delle apparecchiature e delle procedure operative e perché rappresentano la consolidazione naturale del terreno sotto il peso degli strati sovrastanti, cioè una compressione assiale senza deformazioni laterali. La prova edometrica standard viene eseguita incrementando con progressione geometrica il carico assiale, che ad ogni gradino viene mantenuto costante per un tempo sufficiente a completare il fenomeno idraulico legato alla sua applicazione, fenomeno detto di “consolidazione”. Quando un nuovo carico è applicato al terreno si possono avere variazioni di volume per compressione del fluido che riempie i pori e per espulsione del fluido e riaggiustamento delle particelle solide in una nuova posizione, corrispondente ad un indice dei vuoti più piccolo. La compressibilità delle particelle solide e dell’acqua è però molto piccola rispetto a quella della struttura del terreno. Nelle terre sature si hanno perciò variazioni di volume apprezzabili solo per il riaggiustamento delle particelle con espulsione del fluido.

Come è già stato detto precedentemente la pressione efficace σ’ controlla sia le variazioni di volume che la resistenza al taglio ed è legata alla pressione totale e neutrale della relazione σ’ = σ – u.

In un’argilla satura, poiché il fluido dei pori è incompressibile, un aumento uniforme della pressione totale dà luogo ad un eguale incremento della pressione neutrale. D’altro lato l’aumento di pressione neutrale in una zona caricata dà luogo a un movimento di allentamento dell’acqua, mentre il volume del terreno della zona caricata diminuisce. Questa variazione di volume, accompagnata dall’espulsione del fluido, è chiamata consolidazione. Si può rappresentare il fenomeno secondo il Terzaghi.

Un recipiente cilindrico contiene una serie di pistoni forati e separati gli uni dagli altri con delle molle. Applicando una pressione unitaria p in superficie, al primo istante essa è tutta sopportata dall’acqua; dopo un certo tempo t1 la parte superiore del recipiente ha perso un po’ d’acqua e la diminuzione di volume ha messo in compressione le molle in questa zona, mentre nella parte inferiore non è cambiato nulla. In questo modello fisico la molla rappresenta lo scheletro solido del terreno, l’acqua il fluido interstiziale, i fori nei pistoni la permeabilità.

Nella prova edometrica standard si ha consolidazione unidimensionale e si misura la velocità e l’entità degli assestamenti derivanti dalle variazioni di volume del campione. Il campione indisturbato di argilla è posto in un anello metallico, cosicché è impedito ogni movimento laterale, mentre sulle facce superiori e inferiori sono poste delle piastre porose che permettono il drenaggio dell’acqua solo in direzione verticale. Il campione è caricato verticalmente e si misurano i cedimenti nel tempo a carico costante. Quando il cedimento è sostanzialmente completato si aumenta la pressione e si misurano i cedimenti nel tempo con il nuovo carico. Il procedimento viene ripetuto per tutto il campo di pressioni che si deve studiare. Con argille normalconsolidate il carico verticale deve raggiungere valori pari almeno a otto volte la pressione di consolidazione; in argille sovraconsolidati il carico verticale deve raggiungere valori superiori a otto volte la pressione di consolidazione. Dai risultati delle prove edometriche è possibile ottenere una relazione tra l’indice dei vuoti e la pressione effettiva ed un insieme di curve rappresentative dei cedimenti in funzione del tempo per ogni pressione di prova.

La variazione di altezza ΔH per unità di altezza H0, essendo questa una prova di compressione monodimensionale, è uguale alla variazione di volume ΔV per unità di volume V0 cioè:

Δε = ΔH/ H0 = ΔV/ V0

Si può esprimere allora ΔV in funzione dell’indice dei vuoti e, e quindi si può esprimere la diminuzione di spessore con la relazione:

ΔH = H0 ∙ Δe/1+e0 = H0 Δε

che è indipendente dal meccanismo che provoca la variazione di volume e dal grado di saturazione del terreno.

 

 

I risultati di una prova edometrica su un campione di argilla vengono spesso riportati nel diagramma indice dei vuoti e-pressione σ' e la pendenza della curva è chiamata coefficiente di compressibilità.

E’ utile riportare i risultati della prova edometrica in scala semilogaritmica. Nel primo tratto AB, detto di ricompressione, la compressibilità del terreno è bassa e con deformazione prevalentemente elastica; nel secondo tratta BC detto di compressione, la compressibilità aumenta notevolmente e le deformazioni sono di natura prevalentemente plastica, come è evidenziato dal tratto CD di scarico o di rigonfiamento: il Δe corrispondente a Cd rappresenta la deformazione di natura elastica, mentre quello corrispondente ad AD rappresenta la deformazione plastica. Riprendendo a comprimere il provino si ha nel tratto DE un comportamento prevalentemente elastico fino alla massima tensione σ'p(C) che aveva prodotto deformazioni sia elastiche che plastiche. La tensione σ'p chiamata pressione di consolidazione, può essere considerata una tensione di snervamento, secondo Casagrande rappresenta la massima tensione di consolidazione cui è stato sottoposto il terreno e dipende da processi di consolidazione di vario tipo, come già detto precedentemente.

La determinazione della pressione di consolidazione σ'p  può essere eseguita graficamente con vari metodi, ma il più semplice e usato correntemente è quello di Casagrande:

nel diagramma e-logσ' di un campione di argilla prelevato correttamente, si individua il punto di massima curvatura A e si traccia la linea AB bisettrice dell’angolo tra l’orizzontale e la tangente per A. il punto di intersezione D di questa bisettrice con il prolungamento verso l’alto della parte retta della curva e-logσ' indica la pressione di consolidazione σ'p.

Come è già stato detto, confrontando il valore della pressione di consolidazione σ'p  con la tensione verticale effettiva σ'u0 attuale, si può determinare il grado di sovraconsolidazione OCR definito dal rapporto OCR = σ'p / σ'u0 ; con OCR=1 si ha argilla normalconsolidata e con OCR>1 argilla sovraconsolidata.

E’ stata sviluppata da Terzaghi una teoria per il calcolo  della progressione dell’assestamento conosciuta come teoria della consolidazione. Essa conduce ad una relazione tra il grado di consolidazione medio e il tempo:

U% = f (Tv)   con Tv = cv t / H2

dove:  U%: è il grado di consolidazione medio, cioè la percentuale di cedimento totale avvenuta ad un certo tempo t rispetto al cedimento totale;

cv:rappresenta il coefficiente di consolidazione;

         H2: rappresenta la metà dell’altezza del provino durante la prova edometrica.

 

La funzione precedentemente osservata può essere rappresentata graficamente per trovare le deformazioni U=100% e U=0%:

Nella formula precedente la nostra incognita è rappresentata da cv questo parametro può essere calcolato mediante l’ausilio del grafico: il primo passo è costituito dalla valutazione delle deformazioni corrispondenti a U=0% e U=100%.

Dal punto di massima inflessione della curva “e” si traccia la tangente a questo punto che incontrerà il prolungamento della parte retta della curva nel punto “f”; tracciando la verticale sull’asse dei tempi (in base semi-logaritmica) troveremo il t100 tracciando la verticale sull’asse delle deformazioni troveremo U=100%. A questo punto si individua prima il t50 e dopo il t1 che corrisponderà sulla curva al punto C; possiamo considerare il tempo t/4 che corrisponderà sulla curva al punto D.

Tra i punti C e D vi è una distanza verticale A, se dal punto D prolungassimo questa distanza di un altro segmento A troveremmo U=0%.

A questo punto è sufficiente calcolarsi U=U%/U100%; quindi essendo Tv un valore dimensionale basta calcolarsi U100%. Una volta calcolato Tv e possibile calcolare la nostra incognita cv.

 

cv = H2 Tv / t